벡터(Vector)

벡터, 사전적 정의는 다음과 같다.

벡터는 수학, 물리학, 공학에서 크기와 방향을 갖춘 양을 일컫는다.

막연한 말이다. 대체 무엇을 의미하는 걸까? 또, 벡터를 검색하면 자동으로 스칼라라는 개념도 나온다. 대체 이 둘은 무엇이길래 우리를 이렇게 어지럽게 만드는 걸까?

감수성만 충만한 문과생의 입장에서 프로그래밍의 벡터를 정리하기란 어려웠지만 열심히 찾고 또 찾아 도전해보았다.

벡터는 컴퓨터 그래픽스에서 뗄 수 없는 개념이다.

컴퓨터는 공간을 좌표로 계산한다. 특정 좌표에서 다른 좌표로 이동할 경우, 이 이동에는 방향성과 속력 즉, 힘이 들어간다. 이는 그림으로 표현하면 다음과 같다.

한 정점에서 다른 정점으로 이동하는 방향과 힘을 가진 것, 이것이 기하학적 벡터(Euclidean Vector)이다.

위 그림을 다시 보면, 벡터의 방향은 직선이다. 일부 사례만이 아니라 모든 벡터는 선형적인 성질을 가진다. 특정 한 방향으로 직선을 그리기 때문에 벡터와 벡터가 결합하면 완전히 새로운 벡터가 태어난다.

여기에 더해, 벡터에 수를 곱하여 벡터를 확장하거나, 축소하고 또 방향을 반대로 바꿀 수도 있다. 이때 이 곱해지는 수를 바로 스칼라(Scalar)라고 한다.

이어서 벡터의 여러 개념들을 더 살펴보자.

단위벡터

단순하게 길이가 1인 벡터를 단위벡터라고 부른다.

벡터의 정규화

또한 R^n의 영이 아닌 벡터 v와 같은 방향을 가지는 단위벡터 u를 생성하는 것을 벡터의 정규화라고 한다.

벡터의 덧셈 & 뺄셈

벡터의 덧셈은 단순하게 A + B = C로 표현이 가능하다. 벡터 A와 B가 합쳐져 새로운 벡터 C를 만들어 낸 것이다.

이를 벡터의 성분으로 나타내게 된다면 벡터 C의 각 성분은 벡터 A와 벡터 B의 각 성분들 간의 덧셈으로 표현이 된다.

A + B = [A1 + B1, A2 + B2, A3+ B3 ...... An + Bn]

이를 시각적으로 나타내면 다음과 같다.

이와 반대로 벡터의 뺄셈은 각 성분들 간의 뻴셈으로 표현이 된다.

A - B = [A1 - B1, A2 - B2, A3 - B3 ...... An - Bn]

벡터의 곱셈 & 스칼라와 벡터의 곱

벡터의 곱셈에는 내적과 외적이 있다.

내적은 단순하게 설명하면 영벡터가 아닌 임의의 두 벡터의 사이각을 알아내는데 유용한 연산이다.

이를 구하는 공식은 단순하다. 임의의 두 벡터의 절대값을 곱하고 거기에 코사인 세타만큼 곱해준다. 이를 공간벡터에서 연산을 하게 되면 다음과 같은 공식이 된다.

그렇다면 외적은 무엇일까?

외적은 3차원 공간에 대한 벡터의 이항연산의 일종이다. 쉽게 풀어 말하자면 3차원 공간에서의 벡터의 곱셈이다.

두 벡터 A, B의 외적 A * B는 두 벡터에 동시에 수직이고, 그 크기는 |A| * |B| * sinθ가 된다.

이 때, 두 벡터의 외적의 크기는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이와 같다. ( 밑의 그림에 표현이 되어 있다.)

외적은 내적과 달리 곱의 결과가, 크기와 방향이 동시에 존재하는 벡터가 된다.

이를 알기 쉽게 기하학적으로 표현하면 다음과 같다.

3차원 공간은 x, y, z 좌표가 존재한다. 두 벡터의 외적은 완전히 다른 방향의 새로운 벡터가 되는 것이다.

가나다라마바사